Soit θ > 0 un réel. D´emontrer que si n et p sont des entiers relatifs, alors np est pair ou n2 p2 est multiple de 8. est pair. Si n est pair, n et 5n3 sont pairs de même que 5n3 +n et 2 divise 5n3 +n. normale centrée réduite N(0,1), si Y est une v.a. Montrer que p est irréductible ssi il n’existe pas (a,b) ∈ N2 tel que p = a2 +b2. Serge K. Lv 5. il y a 1 décennie. Les nombres pairs se terminent. 2 Étudier la continuité de f la fonction réelle à valeurs réelles définie par f(x) = sinx x si x 6= 0 et f(0) = 1. indication Le seul problème est en x = 0. Comme a 1, en appliquant la formule sur la somme partielle d'une série géométrique, il … Exercice 19. Un graphe connexe comportant n-1 arêtes est un "arbre" (n ≥ 2). On voit tout d'abord que a 0 et a 1 car -1 et 0 ne sont pas premiers. si n est pair alors a n est positif ; si n est impair alors a n est négatif. . Montrer que, si n 3 et n 2 ont le même reste dans la division par 7, alors ce reste ne peut être que 0 ou 1. ARITHMÉTIQUE 3 P.G. ne pourra s'apparier qu'avec l'autre chromosome de la paire n° 3). Non puisque, pour n = 2, n4 – n = 16 – 2 = 14 qui n’est pas divisible par 4. Exercice 38 Montrer que si H1 et H2 sont deux hyperplans distincts d’un K-espace vectoriel de dimension finie E alors dim(H1 ∩H2) = dim E −2. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel n, 23 n + 1 a pour reste 2 dans la division par 7. Notons que cette démonstration se fait aussi par disjonction des cas : on a montré que si n est impair, alors n 2 est impair. Donc : n=(2k+1)²/2. Pour la première partie de la question (montrer que le carré d'un nombre pair est pair) c'est vraiment trop facile: si n est pair, alors il existe un entier p tel que n = 2p. Tu peux aussi faire un raisonnement … Voici quelques exercices qui tournent autour du nombre 2005 : 1. Deux p-arrangements d'éléments de E = fx 1;x 2;:::;x ngont le même support si ils sont formés des mêmes éléments mais pas nécessairement dans le même. Salut! Montrer que Ker f ⊕ Im f = E si et seulement si Ker f ∩Im f = n→ 0 o. Exercice 37 Montrer que H = {P ∈ Rn[X] / P(1) = 0} est un hyperplan de Rn[X] et en d´eterminer une base. Les démonstrations par l'absurde sont souvent élégantes, non ? = n! Utilisée sous license. La seule indication est que n² est pair, donc que n² est entier. Indication : Montrer que (n − 1) ∧ (n + 1) = 2 et montrer que 3 n+1 n−1 et sont des carrés. de χ2(n) khi-deux à n degrés de liberté, et si X et Y sont indépendantes, alors la v.a. 2ème cas : n est impair. n + 7 est donc pair. Donc, pour tout n ∈ N, n2 +n est pair. Le mˆeme raisonnement qu’avant donne cette fois (k +1)ζ(k) = X n>0 f(n,n) = 2 X 0 1 et N(β) > 1. . EXERCICE 23. Maple. En d´eduire la valeur de Pn i=1 (2i1)2. et o appartient à 2n. En soustrayant la suite (un )n∈N , on se ramène à montrer l’énoncé suivant : si (un )n∈N et (vn )n∈N sont deux suites telles que : ∀n ∈ N, 0 6 un 6 vn et limn→+∞ vn = 0, alors (un ) converge et limn→+∞ un = 0. 1 0. . Utilisation de la fonction modulo. Déterminer les diviseurs positifs de 2005. 1er cas : n est pair. Et cela est vrai, car ⇒ a − 2 = b − 2 ⇒ a=b. Or n² = n x n. Je te laisse terminer. Si l = 0, alors (cos(n)) et (sin(n)) tendent tous les deux vers 0, mais c’est impossible car cos2(n) +sin2(n) = 1. Si n est pair, alors tout multiple de n est pair, et en particulier n(n+1). Si f et g sont paires (respectivement impaires), est paire (respectivement impaire). Question 3: Montrer que si k est impair alors n est pair. Si p² est pair, alors : p²=2.n. (iv) Si f est bijective de D dans D ( ) et impaire, alors sa bijection réciproque est impaire. Histoire. Si nous pouvons détecter rapidement si un nombre est pair ou pair, comment faire dans un programme informatique. – Si ∃(a,b) ∈ N2, p = a2 + b2, alors p = (a + ib)(a − ib), et p n’est pas irréductible dans Z(i). On utilise ce principe pour démontrer des propriétés Premier raisonnement par contraposée Montrer que si n² est impair , alors n est impair La contraposée de cette proposition est : si n pair alors n² pair . (v) Si f est paire, alors est paire quelque soit la fonction h. (vi) Si f est impaire, et si g paire ou impaire, alors à la même parité que g. 2) Montrer que si est pair alors n est pair aussi. Rien ne dit ici que n est un entier! q q a. Montrer que … 1) Montrer que si n est pair alors est pair aussi. 102. Soit une fonction définie sur et () son graphe, dans un repère d'axes (), ().. est une fonction paire si et seulement si () est symétrique par rapport à l'axe (), parallèlement à l'axe (). Vérier que pour tout n ≥ 0, E[X n ] est le nombre de manières d'apparier n points, c'est-à-dire le nombre de partitions de l'ensemble {1, . Si n≥2 on voit en mettant les n sommets sur un cercle et en les reliant dans le sens horaire que n arêtes suffisent pour avoir un graphe fortement connexe. IV) Démonstration par l'absurde Montrer que, si n est pair, alors n, n − 1 et n + 1 sont des carrés et conclure. Alors, le nombre de ombinaisonsc de p éléments armip un ensemble à n éléments est galé à n p! On peut, par exemple, séparer les cas où x est un entier pair des cas où x est impair, ou encore séparer les cas où x est un réel positif des cas où il est strictement négatif. = n(n 1)(n 2) (n p+1) p(p 1)(p 2) 1 Démonstration : Il su t de montrer que : Ap n = p! En déduire l’ensemble des arbres k-réguliers. 89 n Y X Z = suit une loi T(n) de Student à n degrés de liberté Loi deLoi de StudentStudent:: • L’espérance mathématique d’une v.a. Si P est une fonction polynomiale à valeurs dans : si tous les exposants de x sont pairs, alors, pour tout réel x, P(–x) = P(x) ; si tous les exposants de x sont impairs, alors, pour tout réel x, P(–x) = –P(x). Comme n est premier alors n = 2 (2 est le seul nombre premier). par (0, 2, 4, 6, 8). Nous allons tout d'abord montrer qu'il vient alors forcément a = 2, puis nous démontrerons que si 2n - 1 est premier, alors n est premier. 2) Résoudre le cas n impair. Pour que n + 7 soit premier, il faudrait que n + 7 = 2, c’est à dire n = −5. Montrer que la fonction est bien conti-nue en ce point. (b) Si n=1 il n’y a pas besoin d’arêtes. Question 4: Montrer que dans un arbre il y a au moins deux sommets de degré 1. Détection par le reste de la division par le 2. ; est une fonction impaire si et seulement si () est symétrique par rapport à l'origine . Lorsque la démonstration d’une propriété dépend de la valeur de x, il est parfois utile de faire une disjonction de cas : on sépare le raisonnement suivant toutes les valeurs que peut prendre x. (n p)! 19 Déterminer les entiers et tels que a. b. Si n mod 2 = 0 alors n est pair. Montrer qu’il n’existe pas de n tel que racine de 2 n'est ni pair ni impair 5. Si n est impair, alors n+1 est pair. Si n est impair (c’est-à-dire qu’il existe un entier k tel que n = 2k + 1) alors n2 est impair (car n2 = 2(2k2 +2k)+1) donc n2 +n est pair. Si la boucle TantQue se termine, deux cas se pr´esentent lors de la derni`ere ´etape : •c +1 > b soit c >b d’ou` a vaut b et donc v n’´etait pas pr´esente dans le tableau. Montrer que pour tout n ∈ N, la variable aléatoire X n est intégrable et calculer E[X n ]. Considérons maintenant que n… Source(s) : @hargho: "Vu que tu parles de nombres pairs, je suppose que tu parles d'entiers." Comme " n" appartient à N, on a alors 2n est nombre pair. 13/12/2014 45 Loi deLoi de StudentStudent:: • On peut montrer que: Si X est une v.a. Si n est multiple de 3, n et 5n3 sont multiples de 3 de même que 5n3 +n. Python 1.Soit n un entier relatif. n=2k²+2k+1/2. On peut montrer aussi simplement que si n est pair alors n 2 est pair. 2 0. (Dans le cas pr´ec´edent j ne prenait que la seule valeur 2.) Trouver tous les sous-groupes et tous les sous-groupes normaux d’un tel groupe. Comme on a fait tous les cas possibles, on en déduit que pour que n 2 soit pair, il faut que n soit pair. Dans notre exemple, les 4 chromosomes vont donc former 2 paires d'homologues ou 2 bivalents et, pour qu'il n'y ait pas d'erreur au moment de cet appariement, des protéines spécifiques vont assurer la reconnaissance des homologues, ainsi que leur assemblage (un chromosome de la paire n° 3 par ex. Exercice c.3 On calcule les premières valeurs de n! 2. Pour cela, on raisonne par l'absurde en supposant que 2= p p avec fraction irréductible. soit n est pair, soit n+1 est pair. Donc N… On peut aussi facilement démontrer le résultat par récurrence. Question 5: Montrer qu’un arbre ne comporte pas de cycle. Essayons de résoudre le problème par récurrence: Prenons n = o alors on a o ( o+1 ) = ox1 = o . 2 2 CPUS 2013-2014 GLMA403 - FICHE N 1D ARITHMÉTIQUE DANS Z - INDICATRICE D’EULER ET THÉORÈME DE BÉZOUT EXERCICE 22. Pour la deuxième partie de la question, le plus simple est de définir n comme étant égal à p + 1 où p est pair et l'élever au carré. En déduire qu’un groupe d’ordre 6 est soit isomorphe à Z/6Z, soit isomorphe au groupe symétrique S3 des permutations de {1, 2, 3}. Or N(α)N(β) = N(p) = p2. 8) On montre que la propri´et´e «la valeur v est pr´esente parmi les ´el´ements de t d’indices compris entre a et b »est un invariant de boucle. Si une implication est vraie alors sa contraposée aussi . si n pair, forcément n² = 4k² (pair) comme tu sais que ton chiffre n² est issu du carré d'un naturel, et qu'il est pair, alors il a forcément la forme 4k², ie le naturel dont il est issu est pair par contre un carré pair ne donne pas forcément une racine pair. Un graphe G est "biparti" s’il est possible de partionner l’ensemble de …